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2019年高考数学一轮复*专题1.1集合的概念及其基本运算讲

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第 01 节 集合的概念及其基本运算

考点

【考纲考点剖析】 考纲内容

5 年统计

分析预测

1.了解集合、元素的含义及其关系。

1.集合交、并、补的

1.集合间的 基本关系

2.理解全集、空集、子集的含义, 及集合之间的包含、相等关系。
3.掌握集合的表示法 (列举法、描

运算是考查的热点; 2.集合间的基本关系 很少涉及;

述法、Venn 图)。

3.题型:选择题

2.集合的基 本运算

2018 浙江卷,1

2017 浙江卷,1

1.会求简单集合的并集、交集。 2.理解补集的含义,且会求补集。

2016 浙江卷文理,1 2015 浙江卷文理,1 2014 浙江卷文理,1

4.备考重点: (1) 集 合 的 交 并 补
的混合运算; (2) 以 其他知 识为
载体考查集合之间的 关系;

(3) 简 单 不 等 式 的

解法.

【知识清单】

1.元素与集合

(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.

(2)集合与元素的关系:若 a 属于集合 A,记作 a ? A ;若 b 不属于集合 A,记作 b ? A .

(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集及其符号表示

数集

自然数 集

正整数 集

整数集

有理数 集

实数集

N*或

符号

N

Z

Q

R

N+

2.集合间的基本关系 (1)子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合

-1-

A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,也说集合 A 是 集合 B 的子集。记为 A ? B 或 B ? A .

(2)真子集:对于两个集合 A 与 B,如果 A ? B ,且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A,则 称集合 A 是集合 B 的真子集。记为 A ?? B .

(3)空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.

(4)若一个集合含有 n 个元素,则子集个数为 2n 个,真子集个数为 2n ?1.

3.集合的运算

(1)三种基本运算的概念及表示

名称 交集

并集

补集

A∩B={x|x A ∪ B={x|x

数学

CUA={x|x ∈

∈ A, 且 x ∈ ∈ A, 或 x ∈

语言

U,且 x?A}

B}

B}

图形

语言

(2)三种运算的常见性质

A A ? A ,A ? ? ? ,A B ? B A ,A A ? A ,A ? ? A,A B ? B A .

CU (CU A) ? A , CUU ? ? , CU ? ? U .

A B ? A ? A ? B , A B ? A ? B ? A , CU ( A B) ? CU A CU B ,

CU ( A B) ? CU A CU B .
考点 1 集合的概念

【重点难点突破】

【1-1】【2018 年全国卷 II 理】已知集合 元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A

,则 中

-2-

? ? 【1-2】若集合 A ? x x ?1 ,则( )

A. ?3? A
【答案】D

B. ?2? A

【解析】 A ? ?x x ?1?

C. ?1? A

D. 0 ? A

?集合 A 就是由全体大于 ?1的数构成的集合,显然 0 ? ?1,故 0? A 故选 D
【领悟技法】 与集合元素有关问题的思路: (1)确定集合的元素是什么,即确定这个集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互 异性. 【触类旁通】
? ? 【变式一】【2017 浙江嘉兴一中模拟】若集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ? x, y? x ? y ? 4 0, x, y ? A ,

则集合 B 中的元素个数为( )
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D

【解析】x, y ? A 的数对共 9 对,其中 ?2,3?,?3, 2?,?3,3? 满足 x ? y ? 4 ? 0 ,所以集合 B 中的元

-3-

素个数共 3 个.

【变式二】设 关系是( ) A. C. 【答案】B


B. D.

,集合

,那么 与集合 的

【解析】

,即



,即 a=3,b=π ,

故 x∈M,y M,

故选:B.

考点 2 集合间的基本关系

? ? 【2-1】【2017 届浙江省杭州市第二中学 5 月仿真】若集合 A ? x| x ? x2 ? 2, x ? R ,

B ? ?1, m?,若 A ? B ,则 m 的值为( )

A. 2 B. -2 C. -1 或 2 D. 2 或 2

【答案】A

【解析】 A ? ?2?,由 A ? B 可知, m ? 2 ,故选 A。

【2-2】【2018 届浙江省教育绿色评价联盟 5 月适应性】已知集合



A.

B.

C.

【答案】B

,若 D.

,则 ( )

【领悟技法】 1.判断两集合的关系常用两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列
-4-

举法表示各集合,从元素中寻找关系.

2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为

参数满足的关系,解决这类问题常常运用数轴、Venn 图 帮助分析.

【触类旁通】
【变式 1】设集合 P={m |-1 ? m ? 0} , Q={m | mx2+4mx-4 ? 0 对任意实数 x 恒成 立,且

m ? R},则下列关系中成立的是( )

A. P ?? Q

B. Q ?? P

C. P=Q

【答案】A

D. P Q=?

【解析】

P={m

|

-1

?

m

?

0}



Q

:

?m ???

? 0, ? 16m2

?16m

?

0,



m=0



∴-1? m ? 0 .∴ Q={m |-1 ? m ? 0}.∴ P ?? Q .

【变式 2】【2017 辽宁锦州质检(一)】集合 M ? {x | x ? 3n , n ? N} ,集合 N ? {x | x ? 3n, n ? N} ,

则集合 M 与集合 N 的关系( )

A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? ? D. M ? N 且 N ? M

【答案】D

【解析】因为1? M ,1? N;6 ? N,6 ? M ,所以 M ? N 且 N ? M ,选 D.
考点 3 集合的基本运算

【3-1】【2018 年浙江卷】已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3},则

A.

B. {1 ,3} C. {2,4,5} D. {1,2,3,4,5}

【答案】C

【解析】分析:根据补集的定义可得结果.

()

详解:因为全集



,所以根据补集的定义得

,

故选 C.

【3-2】【2017 浙江卷】已知 P ? {x | ?1 ? x ? 1}, Q ? {0 ? x ? 2},则 P ? Q ?

A. (?1,2)

B. (0,1)

C. (?1,0)

【答案】A

【解析】利用数轴,取 P,Q 所有元素,得 P ? Q ? (?1,2) .

D. (1,2)

-5-

【3-3】【2017 新课标 1】已知集合 A=?x|x ? 2? ,B=?x|3 ? 2x ? 0? ,则( )

A.A

B=

? ?

x|x

?

?

3 2

? ? ?

C.A

B

?

??x|x ?

?

3 2

? ? ?

【答案】A

B.A B ? ? D.A B=R

【解析】由 3? 2x ? 0 得 x ? 3 ,所以 A ? B ? {x | x ? 2}?{x | x ? 3} ? {x | x ? 3},选 A.

2

2

2

【领悟技法】

1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴,一般情况下,有限集的运算用维恩图分析,无限

集的运算用数轴,这实际上是数形结合的思想的具体运用。

2. 涉及集合(交、并、补)运算,不要遗忘了空集这个特殊的集合。空集是任何集合的子集,

是任何非空集合的真子集。

3. 有些集合是可以化简的,如果先化简再研究 其关系并进行运算,可使问题变得简单明了,易

于解决.

【触类旁通】

【变式一】【2018 年天津卷理】设全集为 R,集合

A.

B.

C.

【答案】B



,则

D.

【变式 2】【2017 浙江杭州二模】设U ? ??1,0,1, 2? ,集合 A ? {x | x2 ? 1, x ?U} ,则 CU A ?( ) A. ?0,1, 2? B. ??1,1,2? C. ??1,0, 2? D. ??1,0,1?
【答案】B
【解析】由 x2 ? 1 得: ?1? x ?1 ,所以 A ? ?0? ,因此 ?U A ? ??1,1, 2? ,故选择 B.
【易错试题常警惕】
-6-

易错典例 1:设集合 A={x || x-a |? 1,x ? R}, B={x |1 ? x ? 5,x ? R} ,若 A ?? B ,则 a
的取值范围为________. 易错分析:忽视端点.

正确解析:由 | x-a |? 1 得 -1? x-a ?1 ,∴ a-1? x ? a+1 ,由 A ??

B



?a ??a

?1 ?1

? ?

1 5

,∴

2?a?4.

又当 a=2时,=?x |1? x ? 3? 满足 A ?? B , a=4 时, A=?x | 3 ? x ? 5?也满足 A ?? B ,∴

2?a?4.

温馨提示:利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时,要注意端点是实心还是空心,在含

有参数时,要注意验证区间端点是否符合题意.

? ? 易错典例 2:设集合 A ? x | x2 ? a , B ?? x| x ? 2? ,若 A B ? A ,则实数 a 的取值范围是

_______. 易错分析:遗忘空集.

正确解析:由 A? B ? A ? A ? B ,所以当 A ? ? 时,满足 A ? B ,此时不等式 x2 ? a 无解,

? ? 所 以 a ? 0 , 当 A ? ? 即 a ? 0 时 , A ? x| ? a ? x ? , a a?0 , 由 A ? B 可 知

a ? 2 ? 0? a ? 4,综上可知实数 a 的取值范围是 a ? 4 . 温馨提示:在 A ? B,A B=B,A B=A,A B=? 中容易忽视集合 A ? ? 这一情况,预
防出现错误的方法是要注意分类讨论.
【学科素养提升之思想方法篇】 化抽象为具体——数形结合思想
数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思 维相结合,使问题化难为易、化抽象为具体.数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三 个方面:
(1)利用 Venn 图,直观地判断集合的包含或相等关系. (2)利用 Venn 图,求解有限集合的交、并、补运算.
(3)借助数轴,分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参 变量的取值范围问题.
【 典 例 】 已 知 集 合 A={x ? R || x+2 |<3} , 集 合 B={x ?R | x(-m x)-( 2 <0) ,}且 A B=(-1, )n,则 m =________, n =________.
-7-

【答案】 -1,1.
【解析】 由题意,知 A={x |-5<x<1}.因为 A B=(-1,n) , B={x ? R | (x-m)(x-2)<0} ,结合数轴,如图. 所以 m=-1,n=1.
-8-



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