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【多彩课堂】高中数学 1.2.1 任意角的三角函数(第1课时)名师课件 新人教A版必修4

发布时间:

1.2.1 任意角的三角函数
第一课时

本节课以锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数 值的函数引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的 终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数 的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域 以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段 进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练*.
任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都 有自己的特点.过去*惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定 义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函 数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学*三角函 数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响,“从角 的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中 的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运 算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会 影响学生对三角函数概念的理解

(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义 (包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号); (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法

在直角三角形中锐角A的三角函数定义:

sin A ? BC ? a AB c

cos A ? AC ? b AB c

A

tan A ? BC ? a AC b

B

c

a

b

C

上述定义只限于直角三角形中的锐角, 而现在角的定义已经拓广到任意角,如:
sin1200 ? ? cos1500 ? ? tan 3150 ? ?

一、任意角的三角函数
思考1:为了研究方便,我们把锐角α放到直角坐标系中, 在角α的终边上取一点P(a,b),那么,sinα,cosα, tanα的值分别P 如何表示?

?

O
y

a

b
M
OP ? r ?
x

a2 ? b2

sin ? ? MP ? b
OP r
cos? ? OM ? a
OP r
tan ? ? MP ? b
OM a

思考2:对于确定的角α ,上述三个比值是否随点 P在角α的终边上的位置的改变而改变呢?为什么?

y

?OMP ∽ ?OM?P?

P?
P(a,b)
?

sin ? ? MP ? M ?P?
OP OP?

cos? ? OM
OP

? OM ? OP?

O

M

M?

x tan? ? MP
OM

? M ?P? OM ?

思考3:为了使sinα ,cosα的表示式更简单, 你认为点P的位置选在何处最好?

若OP ? r ?1,则

以原点为圆心,以单位长 度为半径的圆叫做单位 圆.

Y

P(a,b)

?

O

M

sin? ? MP ? b OP
cos? ? OM ? a
OP
X tan? ? MP ? b OM a

思考4:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y),为了与当α为锐角时的三角函数保持 统一,你认为sinα,cosα,tanα对应的值应分别如
何定义?

sin? ? y
cos? ? x

α的终边
P(x,y)

tan? ? y (x ? 0)
x

y α的终边 P(x,y)
Ox

思考5:三角函数该如何定义呢?

对应关系 sin ?

?

y,cos ?

?

x,tan ?

?

y x

(x

?

0)









为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函

数值的函数,分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数,

并统称为三角函数.

y
P?x, y﹒?
?
O

A?1,0x?

sin? ? y
cos? ? x
tan? ? y (x ? 0)
x

注意:无论角a是第几象限角,它的三角函数的定义都是 一样。

y
例1、求 ? ? 5 ? 的正弦,余弦,正切的值
3

x? 1 2

y?? 3 2

sin 5 ? ? y ? ? 3

3

2

cos 5 ? ? x ? 1

3

2

tan 5 ? ? y ? ? 3
3x

5?
3

1

O2

x
3

12

P

? ???

1 2

,

?

3? 2 ???

点评:若已知角a的大小,可求出角a终边与单位 圆的交点,然后再利用定义求三角函数值。

练*:求角 2? 的正弦、余弦和正切值。

3

分析:可得点

y

P(? 1 , 3 )



22

P(x,y)
2?
3



sin 2? ? 3

32

MO

x

cos 2? ? - 1
32

tan 2? ? ? 3
3

思考6:在弧度制中,这三个三角函数的定义域 分别是什么?

正、余弦函数的定义域为R,

正切函数的定义域是

???
?

|?

?

?
2

?

k?

,

k

?

??? ?

?的正弦 : sin? ? y ?的余弦: cos? ? x
?的正切: tan? ? y
x

? 正弦 y ? 余弦 x
? 正切 y
x

例2 已知角 ?的终边经过点P0 (?3,?4),求角? 的正
弦、余弦和正切值 .

解:由已知可得OP ? (?3)2 ? (?4)2 ? 5 O

y

设角 ? 的终边与单位圆交于 P(x, y) ,

分别过点 P、P0 作 x 轴的垂线 MP 、M 0P0

M0 M

M0P0 ? 4

OM ? ?x

O

x

OM0 ? 3

MP ? ?y

P?x, y?

?OMP
于是,

∽ ?OM 0P0
sin? ? y ?

y

?

?|

MP |

?

?

M 0P0

P0?? 3,?4?
? ? 4;

1 OP

OP0

5

cos? ? x ? x ? ? OM ? ? OM0 ? ? 3 ;

1 OP

OP0

5

tan? ? y ? sin ? ? 4 x cos? 3

定义推广:

设角 ? 是一个任意角,P(x, y) 是终边上的

任意一点,点 P 与原点的距离 r ? x2 ? y2 ? 0

那么① y 叫做? 的正弦,即 sin ? ? y



r
x叫做 ?

的余弦,即

cos?

?

xr

r

r



y
叫做

?

的正弦,即

tan ?

?

y

?x

?

0?

x

x

? ? 任意角 的三角函数值仅与 有关,而与点 P

在角的终边上的位置无关.

? 练*: 已知角 的终边过点 P ?? 12,5? ,
求? 的三个三角函数值.

解:由已知可得:

r ? x 2 ? y 2 ? ?? 12?2 ? 52 ? 13

于是, sin ? ? y ? 5 cos? ? x ? ? 12

r 13

r 13

tan ? ? y ? ? 5
x 12

特殊角的三角函数:

角度? 0
角?的
弧度数 0
sin? 0
cos? 1 tan? 0

30 45
??
64
12 22 32 22
31
3

60 90 180 270 360

??
32

?

3?
2

2?

3 1 0 ?1 0

2

1 2

0 ?1

0

1





3

存 在

0

存0


思考 sin?、cos?、tan?在各象限的符号问题?

y ? 的终边

? 的终边 y

P(x, y) P(x, y)
r r y

y

y

ro x o r x

P(x, y)

P(x, y)

o xM x

o x ? 的终边

? 的终边

(1)sinα ? y r
(2)cosα ? x r
(3)tanα ? y x

y

y

y

?? ? ? ? ?

? o ? x ? o ? x ?o ? x

sin? cos ? tan?

几何画板演示

1、角?的终经过点P(2,3),则有(C、D)

A、sin? ? 2 13 B、cos? ? 13

13

2

C、sin ? ? 3 13 D、tan? ? 3

13

2

2、若角?的终边在直线y ? 2x上,则sin ?等于( C )

A、 ? 1 B、? 5 C、? 2 5 D、? 1

5

5

5

2

3、?的终边经过P(-b,4),且cos? ? ? 3,则b的值为_3____
5

1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 P(x, y)在终边上的位置无关,只由角 α 的终边位置确定.即三
角函数值的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题,并
且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正 确选取.
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.

已知角?的终边在直线y ? 2x上,求角?的sin?,cos?, tan?的值.
解:?1?当角?的终边在第一象限时,

在角?的终边上取点?1, 2?,则r= 12 ? 22 ? 5

sin? ? 2 ? 2 5 ,cos? ? 1 ? 5 , tan? ? 2 ? 2

55

55

1

?2?当角?的终边在第三象限时,

在角?的终边上取点??1, ?2?,则r ? ??1?2 ? ??2?2 ? 5

sin? ? ?2 ? ? 2 5 ,cos? ? ?1 ? ? 5 , tan? ? ?2 ? 2

55

55

?1



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